第273章 解析延拓的另一種實現
時間悄然而逝。
轉瞬間，就來到了十月底。
天氣已經逐漸轉涼，一場秋雨一場寒，隨著一場場秋雨的飄落，也讓整個世界增添了一種寒意。
身上套上了外套，蕭易行走在蜀山湖的岸邊，這是他這段時間以來最常做的事情了。
不過，這次就只有他一個人，洛明雅現在已經將自己的時間都投入到了研究當中。
而一旦開始研究，洛明雅那就基本上是把自己所有的精力都投入了進去，就像是當年還在學校時候的那樣，因此，也都已經有一段時間他們沒有進行過太多交流了。
不知怎的，竟然讓他稍微感到有些可惜？
「此種情緒又是從何而來？」
他在心中搖搖頭，隨後也不再去想這些亂七八糟的事情。
繼續沿著湖邊小路走著，偶爾見到研究所中的其他人，也都會相互打個招呼。
不過，之所以現在的他經常跑到湖邊來，主要也是因為這段時間以來，他一直都在思考，自己接下來的目標應該選擇什麼。
理論，又或者是應用技術？
這是一個十分值得糾結的問題。
前者能夠讓自己心裡滿足，後者則有機會造福全人類。
不過嘛，研究前者，不管成沒成功，都能夠讓自己心裡獲得滿足，畢竟重要的是研究的過程，至於結果什麼的，影響其實也並不是那麼大。
至於後者，那些普通的問題他都沒有興趣，但是有興趣的問題卻又一個比一個複雜，因此只能說是有機會解決，但卻不是一定能夠解決。
「這麼看來，我是不是多少還有點好高騖遠了？」
蕭易不由在心中如此思索了一下。
唔，但是話說回來，他計劃研究的理論問題是黎曼猜想，所以，真要說哪個問題更加好高騖遠的話，似乎還真不能就那麼輕鬆地下定論了。
如果換成別人來看的話，那大概就是每個問題多少都有些好高騖遠了。
「嗯……」
「算了，糾結這麼多也不是個事情。」
抬起手，看了看手錶。
「今天下午還有一節數論課，現在可以準備去學校了。」
或許去上上課什麼的，也能夠給他帶來一些新的思考呢？
隨後轉過身，朝著回去的方向走去，同時給王立打了個電話，讓他準備來接自己去學校。
……
下午，科大數學學院，屬於大一華羅庚班的教室中。
爆滿的教室，各個年級的學生們都正在等待著他們老師的到來。
儘管已經過去了這麼些年，學校的學生們基本上都已經對他們這位明星老師十分的熟悉，不過，這些學生們依然對於蕭易的課堂表示著極大的熱情。
即使是即將迎來畢業的學生，也都依然不願意缺席，說不定，其中就有學生，從來沒有欠缺過蕭易的任何一節課。
儘管蕭易已經表示過，那些上一年聽過他課的人，今年就不要來了，把位置留給其他更多有需求的人，但是也依然阻擋不了這些學生們的熱情。
所幸的是，在當初經過了學校的協調，現在來聽他課的學生，基本上就都是數學學院的了，避免了其他學院的學生跑過來把數學學院的位置都給坐沒了。
就這樣，時間一直來到了15點45分。
蕭易的身影就出現在了教室的門口。
教室中的學生們，有的在之前的課上就已經見過蕭易，而還有的則是難得搶到一次座位，算是第一次見到蕭易。
但不管是哪種的，此時都表現得很是激動。
畢竟是他們每個人心目中的偶像，甚至是最敬仰的人，每次見到都會感到激動也算是比較正常的。
而蕭易對此倒是基本都見怪不怪了。
這些年輕人啊，完全糾正不過來。
嗯。
今年的他也已經有24歲了，這些本科都沒有畢業的學生對他來說，也確實都算得上是年輕人了。
壓了壓手，示意在場的這些學生們都稍微安靜一下，現在距離15點55的上課時間還有10分鐘，天知道這些學生們是否會一直吵下去。
「還有10分鐘上課，如果對上節課的內容，或者是回去自習的過程中有什麼問題的，現在也都可以來找我交流一下。」
照常地說了一句，隨後他便坐在了講台的椅子上，等待起來。
而沒過一會兒，下面就有一群學生手中拿著草稿紙什麼的向他走了過來。
這個環節，也算是如今他的課的必要環節。
這也是有些學生即使已經上過他的數論課了，卻依然經常來聽他課的原因，就是為了他的這個答疑環節，尤其是他解答問題並不局限於數論方面的問題，而是和數學有關的問題都可以給予回答。
以至於有些研究生連研究生的課都不上，卻單單跑過來聽他的課，就是為了拿一些論文中遇到的問題來找他。
這些研究生中，就連博士生都有。
這也使得有些老師曾經和蕭易開玩笑說，他們能不能也來裝作學生聽他的課，然後在這個環節詢問他問題。
就這樣，差不多有二十多名學生都跑到了講台前，排著隊，等著問蕭易問題。
當然，他們問的問題，難度都不是特別高，因此基本上蕭易都是一看就能夠給出相應的回答。
不到半分鐘就是一個問題，就這樣，沒過一會兒，二十多個人的問題就全部回答完了。
剛好，上課的鈴聲也響了起來，本節課，正式開始。
「好了，各位同學，我們開始上課。」
「上節課的最後，我們講述了一些素數相關的東西。」
「相信各位也都知道，素數，也是數論中最為重要的一個概念，它涉及到了很多的問題。」
「而其中有一個最為關鍵的問題，就是素數的分布。」
「那麼，這節課我們主要講的，便是素數分布。」
蕭易轉過身，在黑板上寫下了素數分布四個字。
「那麼，這個時候咱們就要回歸到一個非常根源的問題上來，我們為什麼要研究素數分布？」
「咳咳，當然，如果你現在心中還在糾結這個問題的研究在應用方面有什麼作用的話，那麼我還是要提醒你一下，就不要去思考這種註定沒有答案的問題了。」
在場的學生們都是一笑，這句話也算是蕭教授經常給他們說的，主要目的就是提醒他們，研究純數學，並不是為了讓結果在實際應用上面顯得有些什麼意義。
大概也是因為以前經常有學生詢問他，數論的研究對於實際應用到底有什麼作用。
如果換成像佩雷爾曼，或者是法爾廷斯等一些脾氣比較暴躁點的數學家來的話，大概都會毫不留情地直接將這樣的學生給轟出去。
蕭易則是會表示，在他過去對於數學的各種實際應用中，從來沒有用到過這種純粹的數學。
之後，他就會在課堂中說上這樣一句話。
轉過身，他開始向在場的學生們科普，素數分布的研究歷史，以及各種相關理論的由來。
這也算是對之前他們學習的一些內容進行回顧。
之前他們已經學習過了素數中其他方面的知識，比如素數的無限性，還有埃氏篩法等等的內容。
現在的素數分布，就是對前面這些內容的一次整體應用。
「……那麼，這個時候我們就要談起的是，素數定理。」
「我想，華羅庚班的同學，應該是有不少人都知道素數定理是什麼，你們在參加數學競賽的時候就有可能會學到這個東西。」
「素數定理描述了質數在正整數之間的漸近分布，它是數學界在研究素數分布的過程中，一個里程碑式的成果，它在1896年由法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦萊布桑先後獨立給出證明，因此在數學界中，普遍認為是由這兩位數學家共同證明的素數定理。」
「利用素數定理，我們可以十分近似地去給出素數的大致分布，並且從中得到很多的信息，比如我曾經所證明的Elliott-Halberstam猜想，其中就大量地運用到了素數定理裡面的內容。」
蕭易說道：「在這裡，我們稍微進行一下拓展，你們是否知道，當初雅克·阿達馬和德·拉·瓦萊布桑，在證明素數定理的時候，主要用到了什麼知識嗎？」
很快，下面就有學生舉手。
蕭易記得這名學生就是他所帶的大一華羅庚班的學生。
「這位同學，你來說一說吧。」
那名同學很快就站了起來，十分自信地說道：「我記得他們主要用到的知識就是黎曼給出的黎曼ζ函數，其中的關鍵步驟就是證明如果複數s可以寫成1+it的形式，且t大於0，則ζ（s）≠0。」
蕭易滿意地點點頭：「不錯，看得出來你確實對這方面是有一番比較深刻的了解的。」
然後他就問了一下這名學生的名字，並且表示會給他加一些平時分。
這名學生頓時高興地坐了下去。
「好的，如此，我要給大家拓展的，就是黎曼ζ函數。」
「黎曼ζ函數涉及到的是複分析的方法，至於複分析，你們之後也可以學到，並且這也會是一個比較重要的領域，那麼趁著這個機會，我就先提前給你們講一講，複分析中的解析延拓，這也是黎曼ζ函數最重要的一個知識點。」
「所謂解析延拓，就是我們人為地對解析函數定義域進行改變，將原來較小的定義域擴展到一個比較大的定義域範圍內，然後再讓我們對這個問題進行問題，從而獲得更多有用的信息。」
「……」
蕭易有時候也很是感到欣慰，自己帶的班級是華羅庚班，因此即使他講的東西偏難，這些學生們也都能夠接受，並且大概率回去之後還會進行自主學習。
就這樣，講解著解析延拓的方法，眼前的這些學生們，絕大多數也都很快地就理解了這個方法。
蕭易還簡單展示了一下，如何利用解析延拓來證明1+2+3+4+……是怎麼等於-1/12的。
不過，看著仍然有一些沒能理解的學生，蕭易略微思索了一下，隨後就說道：「那麼接下來，我就再給各位展示一個更容易理解的方法。」
「所謂解析延拓，就是讓我們忽略定義域的界限。」
「可能有些同學一時間有些轉不過彎，覺得為什麼就偏偏要忽略掉定義域，認為我們不能討論定義域之外的函數，覺得這是無意義的。」
「不過，這種問題，隨著你們對於數學的理解逐漸加深，也就可以明白，你們現在只需要知道，包括黎曼猜想，就是基於這種方法而來的。」
「但是，為了讓你們能夠理解，我就用橢圓曲線的方式，從另外一個角度給你們解釋。」
蕭易轉過身，開始在黑板上寫了起來。
「我們首先給出一個橢圓方程，就簡單將其表示為y^2=x^3+ax+b，其中a和b為實數。」
橢圓曲線是高中數學就學過的東西，在場這些才剛入學不到兩個月的大一新生們，對於橢圓曲線自然還是記得的。
在蕭易的解釋之下，他們很容易地就能夠憑藉當初對於橢圓曲線的概念，逐漸開始了解這個解析延拓的過程。
不同的是，蕭易的這個解釋方法，是一種全新的對於解析延拓的解釋，從橢圓曲線出發，其中融入了模形式以及L函數的部分知識，儘管在場的這些學生們大多也都不知道模形式和L函數都是什麼東西，但是因為蕭易的講解中，僅僅只包含了部分的知識，所以他們理解起來卻也沒有多大難度。
至於其他的本科生，則是稍微覺得有些不明覺厲。
然而，對於教室中的幾名研究生來說，他們就有些震驚了。
解析延拓，還能夠從這種角度進行理解？
他們雖然看不太出來，但是多少也能夠知道，在蕭易的這個方法中，綜合運用到了很多的東西進去，他們稍微能夠看出來的，也就只有模形式了。
一時間他們都不由感慨起來。
「蕭教授為了上好課，可真是用心良苦啊，居然還能夠提前想出這樣的方法來解釋解析延拓。」
然而，他們並不知道，實際上，這個方法也僅僅只是蕭易臨時想起來的。
不過，他能夠想到這個方法，也並不完全是偶然。
因為，這裡面包含了他最近這段時間以來對於黎曼猜想的一些思考在裡面。
而黎曼猜想，就是素數分布的終極問題！
直到最後。
「……到這裡，我們成功地將這個橢圓的定義域進行了轉換。」
「現在，我們開始擴大定義域。」
「到這裡，我們也就從另外一種意義上實現了解析延拓。」
「現在，還有不明白的嗎？」
蕭易回過頭，這時候，之前還略微有些懵逼的學生，基本上就理解了。
至於還沒有弄明白的，他就愛莫能助了。
雖然有很多數學家都表示過，數學並不僅僅只是天才的遊戲，但是，他有時候也會在後面加上一句話，但也絕不會是所有人的遊戲。
留給在場這些學生們一定理解的時間，隨後他回過頭，重新看向自己臨時給出的這個方法，忽得就陷入了思索。
剛才思維流暢地搞出來時，尚還沒有發現。
但是現在重新看了一遍後，他忽然就發現，這個將解析延拓的過程剖析出來的新方法，似乎有點不一樣的地方在裡面？
如果，他在這個方法裡面再加入一些代數幾何方法進去……
興許，他能夠將任何解析函數的解析延拓過程，直接轉化成一個橢圓曲線方面的代數幾何問題？
或者直接說他的主要目的，那就是直接將黎曼猜想的形式，轉化成這樣的一個問題？
不經意間，他的腦海中開始颳起了一陣猛烈的頭腦風暴。
只可惜，教室中的學生們，絕對不會想到他們的蕭教授，此時腦海中思考的是，如何解決黎曼猜想。
……
(本章完)